Binômio de Newton - Fórmula do Termo geral

Introdução:

Para desenvolver uma expressão do tipo: (a+b)² basta  aplicar a propriedade distributiva:

(a+b) (a+b)

Onde “a” irá multiplicar todos os termos do segundo parênteses, primeiramente:

a * a = a²

a * b = ab

E desenvolvendo “b”,  ele irá multiplicar também todos os termos do segundo parênteses:

b * a = ab

b * b = b²

Então ao desenvolver por fim a expressão, você terá:

a² + ab + ab + b²

E somando os termos semelhantes ‘’ab’’ fique com 2ab, ou seja:

a² + 2ab + b²

Veja nossa expressão (a+b)² desenvolvida com o método da propriedade distributiva:

a² + 2ab + b²

Note que a expressão possui 3 termos: ''a²'', ''2ab'' e ''b²''.

Um fator curioso a ser ressaltado nesta aula é o seguinte: O número de termos da expressão do tipo , será igual ao expoente da expressão + 1.

Como assim?

A expressão: (a+b)² possui como bem observado, 3 termos, e seu expoente é o dois. Então com base nesta análise, podemos dizer que a quantidade de termos desta expressão é igual ao valor de seu expoente somando 1, ou seja: 2 + 1 = 3.

Isso significa que, sem realizar qualquer tipo de cálculo, podemos afirmar que a expressão (a+b)³ possui quatro termos ou seja, seu expoente que é 3 somado com 1, que dará quatro. Assim como a expressão  possui 5 termos. Soma-se seu expoente com 1 e encontra-se a sua quantidade de termos corretamente.

Por tanto, essa ideia vale para qualquer expressão do tipo: 

Mas voltando ao início... No caso de desenvolver a expressão (a+b)², algo similar poderia ter sido realizado por meio dos ‘’produtos notáveis’’.

Para desenvolver uma expressão do tipo: (a+b)³ ambos processos apresentados acima nos resultaria no desenvolvimento correto da expressão, mas por vezes estes métodos podem ser trabalhosos e cansativos de serem realizados quando temos um expoente muito grande, como por exemplo a expressão: 

Desenvolver esta expressão por meio dos produtos notáveis ou através da propriedade distributiva não é impossível, porém, como já dito, é muito trabalhoso. Por isso, o estudo do método do Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal são muito importantes para sabermos como resolver expressões como essas do tipo: 

A fórmula:

Indo direto ao ponto e sem teorias, a fórmula para o termo geral do Binômio de Newton é a seguinte:

Com o auxílio desta fórmula, você pode encontrar algum termo específico na expressão, ou o coeficiente e o termo independente de determinado número dentro da expressão.

Vamos por partes... O que cada letra significa na fórmula?

Na expressão do tipo:  podemos dizer que na fórmula, ''a'' e ''b'' correspondem aos termos da expressão, isso é um tanto quando óbvio e ''n'' é o expoente da mesma.

''T''significa termo. Então quando queremos encontrar um determinado termo na expressão, substituímos-o por ''p'' na fórmula. Mas analisando a fórmula em si, note que ''p'' aparece somando o 1. Então logicamente se queremos encontrar o terceiro termo da expressão, ''p'' não pode ser 3, porque 3+1 = 4. Então daí estaríamos calculando o quarto termo da expressão e não o terceiro como desejamos. Por isso, ''p'' sempre será o antecessor ao número do termo que queremos encontrar, ou seja, se desejamos encontrar o terceiro termo da expressão, ''p'' será seu antecessor, ou seja, 2, pois: 2+1 = 3.

Então sabendo quais são os valores que devemos substituir corretamente na fórmula, vamos ver um exemplo prático?

Vamos primeiramente tirar a prova da eficácia desta fórmula, encontrando um termo de uma expressão já desenvolvida. No caso, vamos encontrar, por exemplo, o terceiro termo na expressão (a+b)²

Então na fórmula teremos que substituir os seguintes valores:

n = 2 (expoente da expressão)

p = 2 (pois queremos encontrar o terceiro termo da expressão, porém ''p'' sempre será o antecessor deste número, ou seja, 2)

Então ficamos com:

E resolvendo:

2+ 1 = 3

Então:

Agora aqui:  temos uma combinação do tipo ''combinação dois à dois''. Em combinação, quando temos o mesmo número em cima e em baixo, seu resultado será 1, ou seja:

Resolvendo o expoente de ''a'' temos 2-2, que resultará em zero. E sabe-se que qualquer número elevado à zero é igual à 1, portanto: 

E 1 vezes b² é o próprio b².

Por fim temos que:

Ou seja, o terceiro termo da expressão (a+b)² é b². E de fato:

a² + 2ab + b²

Pois bem, vamos ver agora a mesma expressão, porém com o segundo termo?

Os valores a serem substituídos na fórmula são:

n = 2

p = 1

Logo:

Então:

E na combinação: , quando temos o número de baixo igual à 1, seu resultado será o número de cima, portanto:

Resolvendo o expoente de ''a'', temos 2-1 = 1, portanto:

Não precisamos escrever o ''1'' nos expoentes se não quisermos:

Concluindo... Temos o 2 multiplicando a que multiplica b, portanto:

Isso quer dizer que, o segundo termo da expressão (a+b)² é 2ab, o que não é mentira:

a² + 2ab + b²

Com base do que foi passado, podemos então descobrir algum dos termos da seguinte expressão:

Para este exemplo, podemos encontrar o quinto termo da expressão, o que acha?

Então teremos o seguinte:

a = x

b = 4

n = 8

p = 4

Então com os valores substituídos na fórmula, teremos algo como isto:

Ou então:

Agora temos a seguinte combinação: 

(Leia a aula sobre combinações para saber como resolvê-las)

Realizando a combinação, teremos:

Então ao resolver a combinação, teremos:

Agora resolvendo o expoente de ''x'': 8-4 é 4, portanto:

4 elevado à 4 é igual à 256, então:

E por fim, multiplicando 70 por 256, teremos o quinto termo da expressão 

Vamos ver mais um exemplo?

Na expressão:  vamos encontrar o quarto termo?

A fórmula:




Valores a serem substituídos: 

a = y²
b = 3
n = 4
p = 3

Então teremos:



E também:



Resolvendo a combinação: 



A equação fica assim:



Resolvendo o expoente de "y²'' 4-3 = 1, então multiplicando o expoente de y que é dois, com 1, obtenha o próprio 2:



3 ao cubo é 27:



E 27 vezes 4 é 108, portanto o quarto termo da expressão  é: