Sistemas Lineares - Regra de Cramer

O que é?
Um método muito eficiente e conhecido na matemática para resolver sistemas lineares, é a utilização da Regra de Cramer.

A regra de Cramer nos diz que:



E assim sucessivamente...

Portanto, com a utilização desta regra, você poderá encontrar os valores de diversas variáveis num sistema linear quadrado, ou seja, o número de variáveis deve ser igual ao número de equações dentro do sistema.

Veremos um exemplo prático:

Utilizando a Regra de Cramer:
Encontre as variáveis do sistema:




O primeiro passo a se fazer para aplicarmos a Regra de Cramer é construir uma Matriz denominada ''D'' contendo apenas os coeficientes das variáveis, na mesma ordem em que elas aparecem no sistema:



Note que a primeira coluna é referente aos coeficientes de ''x'' e os elementos da segunda coluna são referentes aos coeficientes de ''y''.

Agora com a Matriz construída, podemos encontrar seu determinante:

Multiplique os elementos da Matriz principal e subtraia com os elementos do produto da Matriz secundária:

Det (D) = (3*3) - (2*1)
Det (D) = 9 -2
Det (D) = 7

Encontrado o determinante de D, vamos construir a Matriz ''Dx'' onde iremos substituir a coluna dos coeficientes de ''x'' pelos termos independentes do sistema:



Agora iremos encontrar o determinante desta Matriz Dx:

Det (Dx) = 27 - 13
Det (Dx) = 14

Segundo a Regra de Cramer:



Então basta substituir Dx e D na equação, para encontrar x:



Encontrado ''x'' podemos fazer o mesmo para ''y'', criando a Matriz Dy, onde iremos substituir a coluna contendo os coeficientes de y, adicionando em seu lugar os termos independentes do sistema:



Calculando o determinante da Matriz Dy:

Det (Dy) = 39 - 18
Det (Dy) = 21

Encontrado o determinante de ''Dy'', basta substituir na Regra de Cramer:



Então a solução deste sistema é: S=({2; 3)}

Escalonamento de sistemas lineares:
Podemos utilizar o mesmo processo para encontrarmos as variáveis do seguinte sistema:



Primeiro crie a Matriz ''D'' apenas contendo os coeficientes das variáveis:



Agora para encontrar o determinante desta Matriz quadrada de ordem 3, utilize a Regra de Sarrus:

Fazendo o produto das diagonais principais com os produtos das diagonais secundárias:

Det (D) = 1 + 2 + (-2) + 2 - 1-1

Det (D) = 3

Então encontramos o determinante de "D", podemos então seguir encontrando o determinante da Matriz Dx, onde iremos trocar a coluna onde contém os coeficientes de x, pelos termos independentes do sistema:

Utilizando ''Sarrus'' novamente para encontrar o determinante da Matriz "Dx'', teremos:

Det (Dx) = 2 + 12 + (-3) + 6 + (-2) + (-6)

Det (Dx) = 9

Encontrado o determinante da Matriz "Dx'', podemos encontrar o valor de ''x'' substituindo "D" e "Dx" na Regra de Cramer:



Então x  =3; Vamos encontrar ''y'':

Construindo a Matriz "Dy" trocando a segunda coluna pelos termos independentes do sistema, iremos ter:



Encontrando seu Determinante:

Det (Dy) = -3 + 2 + (-12) + 4 + (-6) + 3
Det (Dy) = -12

Agora utilize a Regra de Cramer para encontrar o valor de ''y'':


Então y = -4

Por fim, faça o mesmo para a variável ''z''.
Crie a Matriz "Dz'' substituindo sua coluna que contém os coeficientes de ''z'' pelos termos independentes no sistema:



Agora encontre seu determinante:

Det (Dz) = -6 + 6 + 2 + (-24) + (-3) + 2
Det (Dz) = -23

Utilizando Cramer:





Então z = -23/3

Portanto, a solução para este sistema é: S=({3; -4; -23/3})