Função Logarítmica

Introdução:
A função que envolve os conceitos de logaritmos é conhecida como ''função logarítmica'' que está em função do logaritmando.
Um exemplo de função logarítmica:



Ou:



É de suma importância que você saiba que a função logarítmica é a função inversa da função exponencial e vice-versa!
Para demonstrar o que acabou de ser dito, iremos à um exemplo básico:

Resolva a seguinte função exponencial:




Vamos utilizar um número qualquer em ''x'' para resolvermos essa função exponencial, por exemplo... O próprio 2, então:



Certo, quando temos x = 2, y será igual à 4.

Veremos agora o que irá ocorrer quando utilizamos a função inversa da exponencial, ou seja, com uma função logarítmica:




Se queremos encontrar esta função logarítmica já tendo o resultado de sua inversa, basta trocamos as variáveis em sua função.
Se na função exponencial temos: x = 2 e y = 4, na função logarítmica teremos o contrário: x = 4 e y = 2:



E nós podemos comprovar a verdade dessa equação aplicando a definição dos logaritmos:



Verdade, não? Pois dois ao quadrado é realmente quatro!

Veremos mais um exemplo simples para não gerar nenhuma dúvida:

Encontre o valor de ''y'' que está em função de ''x'' na equação exponencial abaixo sabendo que x = 4. 
Encontre também sua inversa.



Se ''x'' é igual à 4, então:



Então nesta função exponencial, se ''x'' vale 4, y valerá 4096.

Vamos encontrar sua inversa, que seria a função logarítmica:



Pense... Se na função exponencial: x = 4 e y = 4096, na função logarítmica teremos exatamente o contrário: x = 4096 e y = 4:



E aplicando a definição de logaritmo teremos:



Portanto fica mais do que comprovado que a função logarítmica é o inverso da função exponencial, certo?

Pois bem... Agora que você já sabe sobre ''mais importante'', vamos ver como essas funções se comportam num gráfico:

Gráfico da função:
Antes de mais nada, quero adiantar que poderemos ter dois tipos de gráficos com relação às funções logarítmicas, o gráfico da função crescente, quando temos a base do logaritmo maior que 1, e o gráfico da função decrescente quando a base do logaritmo está entre 0 e 1:

Por exemplo, a função abaixo:



Teria o seguinte gráfico:

Perceba que ela é uma função crescente por conter um número maior que 1 na base.

No caso dessa função:



Seu gráfico seria assim:

Uma função decrescente, pois a base é um número entre 0 e 1.

Pois bem, com base dessas informações, que tal construirmos o gráfico de uma função logarítmica?

Para construir o gráfico da seguinte função logarítmica:



Podemos criar uma tabela contendo alguns números para ''x'' para podermos encontrar ''y'', veja:

x	y
1/3
1
3
9

Na coluna da esquerda atribuímos alguns valores aleatórios para ''x'', portanto, para preencher a coluna da direita devemos encontrar ''y'' em função de ''x'', veja:

Construindo a função da primeira linha iremos atribuir o valor de 1/3 para ''x'':

Agora basta aplicar a definição de logaritmo:

E resolvendo:

Então encontramos o valor da primeira linha de ''y'':

x	y
1/3	-1
1
3
9

E consequentemente nosso primeiro ponto no gráfico.

Continuando... Podemos fazer o mesmo com os outros valores para ''x'', acompanhe:

Pois o único expoente que resulta em 1, seja a base qual for, é o 0.

--

--

Então encontramos os outros valores para ''y'', nossa tabela fica assim:

x	y
1/3	-1
1	0
3	1
9	2

O gráfico da função fica desta maneira:

Note as coordenadas do gráfico:

Perceba que a linha passa pelas coordenadas encontradas nas funções!

Porém, para não gerar nenhuma dúvida, irei construir o gráfico do zero ''à mão'', para vocês verem como se faz, tudo bem?

1. Plano Cartesiano:

2. Obter as coordenadas:

x	y
1/3	-1
1	0
3	1
9	2

3. Tracejar as coordenadas obtidas:

4. Identificar os pontos:

5. Criar o gráfico fazendo com que todos os pontos sejam conectados:

E ai está o gráfico da função feita ''à mão''...

Mas pense... Se a função logarítmica é a inversa da função exponencial... Podemos então inverter as coordenadas obtidas na função logarítmica para encontrarmos o gráfico da função exponencial:

Coordenadas da função logarítmica:	Coordenadas da função inversa:
x y 1/3 -1 1 0 3 1 9 2	x y -1 1/3 0 1 1 3 2 9

Note que eu simplesmente inverti todas as coordenadas na inversa da função logarítmica, ou seja, na função exponencial.

Antes de desenharmos o gráfico da função exponencial, vamos conferir se as funções inversas estão corretas:

Verdadeiro.

Verdadeiro.

Verdadeiro.

Também verdadeiro, portanto podemos construir o gráfico da função inversa:

Note que o gráfico de ambas funções são inversamente proporcionais e isso pode ser facilmente notado se traçarmos uma linha que corta os eixos x e y entre o primeiro e terceiro quadrante:

É como se essa linha que corta os eixos (também conhecida como bissetriz que corta os quadrantes ímpares) fosse um espelho, e que a imagem da função exponencial pode ser refletida do outro lado da linha formando a imagem da função logarítmica, ou vice-versa.