Logaritmos: Mudança de Base

Introdução:

Dando continuidade à nossa aula sobre logaritmos, hoje você vai aprender tudo sobre a quarta propriedade dos logaritmos: A mudança de base!
Essa propriedade é muito importante para resolvermos principalmente equações logarítmicas onde temos logaritmos em bases diferentes, vamos ver?

A quarta propriedade nos diz o seguinte:



Ou seja, podemos mudar a base de qualquer logaritmo que quisermos, contanto que essa troca siga a propriedade da mudança de base.
Assim, um logaritmo ''a'' na base ''b'' pode passar a ser um logaritmo ''a'' na base ''c'' (trocando a base de b para c) não se esquecendo que, após realizar essa troca, esse logaritmo com nova base divida um logaritmo de base ''c'' contendo em seu logaritmando a antiga base, ou seja, ''b''.

Vamos ver essa propriedade na prática para não gerar dúvidas:

Resolva:



Podemos mudar a base desse logaritmo para a base que quisermos (ou tivermos necessidade).
Acho que ficaria melhor de resolver esse log se trocássemos essa base (que é 4) para dois, não? Já que 64 é um número par com certeza deve ser divisível por 2. Então vamos mudar a base desse log para 2, então fica assim:



Lembrando que ao realizarmos essa troca, devemos dividir esse novo logaritmo pelo logaritmo com a nova base (no caso, 2) e o logaritmando passa a ser a antiga base, ou seja o 4:



Agora temos log de 64 na base 2, dividido por log de 4 na base 2.
Vamos encontrar o log de 64 na base 2, seguindo a definição:



Então:



Fatorando o 64 você encontrará 2^6 :



Cancelando as bases iguais, ficamos com x = 6, então por enquanto temos:



Agora resolvendo rapidamente o log de 4 na base 2, encontramos 2²:




Substituindo log de 4 na base 2 por dois, ficamos com:



Portanto, podemos dizer que:



Para conferir o resultado, podemos aplicar a definição de logaritmos:



Outro exemplo?

Sabendo que log 100 = 2 e log de 2 = 0.3, calcule:



Log de 100 na base 2... Gostaria de mudar esse logaritmo para a base 10, por exemplo, já que o problema me fornece logaritmos de base decimal.
Então eu realizo essa mudança, o log de 100 não fica mais na base 2 e passa a ficar na base 10 (que é a base que eu escolhi):



Mas eu devo dividir esse logaritmo pelo logaritmo da nova base, no caso, 10, e seu logaritmando passa a ser a antiga base, ou seja, 2:



Agora fica fácil resolver, pois sabemos que log100 = 2 e log2 = 0.3, então:



Para facilitar nossos cálculos podemos multiplicar essa fração por 10 para nos livrarmos da vírgula e ficarmos com:



Por fim, encontramos sem maiores dificuldades que o logaritmo de 100 na base 2 é 20/3 ou 6.67 aproximadamente!

Ou seja, pela definição: 



É na verdade:



As condições de existência dos logaritmos valem aqui também, onde:

base > 0
base ≠ 1
logaritmando > 0

E claro, a nova base ''c'' deve ser maior que zero e diferente de 1 também.

Mudança de base numa equação:

Vamos ver mais um exemplo só que agora numa equação:



Aqui nós temos uma equação logarítmica de bases diferentes: Base 2, base 4, base 8 e base 16.
Em casos como este, o que precisamos fazer primeiramente é igualar todas as bases à menor base, ou seja, neste caso aqui, todas as bases devem ser trocadas para 2.
Fazendo isso com log de x na base 4, ficamos com:




Faremos o mesmo com log de x na base 8:



E finalmente com log de x na base 16:



Então somando tudo, teremos:



Para não trabalharmos com aquele decimal ali, vamos transformá-lo numa fração também:



Agora preste atenção: Note que temos aparecendo várias vezes  (log de x na base 2) certo? Então para que nossa equação fique mais simples de ser realizada, podemos trocar esse  por qualquer variável, por exemplo por ''K'', então podemos dizer que:



Quando fazemos esse tipo de coisa, podemos chamar ''k'' de artifício da equação.

Substituindo log de x na base 2 por ''k'' na equação, iremos ficar com:



Nos denominadores dessas frações no primeiro membro da equação, basta encontrarmos os respectivos logaritmos:



Então temos:



Vamos tirar o mínimo múltiplo de 2, 3 e 4:

2, 3, 4 | 2
1, 3 ,2 | 2
1, 3, 1 | 3
1

Encontramos 12, então iremos ter:



E ainda:



E por fim: 



Então temos que k = -3

Mas não pense que esta é a raiz da equação! Na equação queremos encontrar ''x'' e encontramos aqui ''k'', ou seja, nosso artifício.

Lembre-se que:



Se k vale -3, então:




Aplicando a definição dos logaritmos temos que:



Ou melhor ainda, aplicando a propriedade da potência de expoente negativo:



Portanto, x = 1/8 e esta é a raiz da equação.


Entenda o artifício:
Para entender melhor esse cálculo utilizando o artifício da equação, vamos resolver essa equação logarítmica aqui:



Note que temos bases diferentes nessa equação: Base 2 e base raiz de 2.

Vamos igualar as bases desses logaritmos para podermos resolver a equação! No caso, podemos mudar a base de todos os logaritmos na equação para a base 2, então:



Agora se atente ao denominador da fração: Note que temos raiz quadrada de dois no logaritmando.
Podemos nos livrarmos desta raiz transformando-a num expoente fracionário de 2, à partir da radiciação, veja:




Agora temos log de 2 elevado à meio na base 2. 
Pela propriedade da potência dos logaritmos, podemos pegar o expoente desse logaritmando, e passá-lo multiplicando o logaritmo, então temos:



Pois bem, agora temos meio multiplicando log de 2 na base 2. 
Lembre-se sempre que quando temos logaritmando igual a base, seu logaritmo será 1, veja porquê:



Então na verdade temos meio multiplicando 1, que dará o próprio meio:



Agora está ficando melhor, não?

Neste momento podemos substituir log de x na base 2 (que aparece duas vezes na equação) pelo artifício, ou seja, por uma variável qualquer, por exemplo ''N'', então:



A equação fica assim:



Com uma incógnita no lugar de um logaritmo fica muito mais fácil de resolver a equação.
Primeiro que temos uma divisão de frações: 

Lembrando da propriedade da divisão entre frações podemos fazer o seguinte:
Conversar a primeira fração, e multiplicá-la pelo inverso da segunda, então:



Por tanto a equação fica da seguinte maneira:



Resolvendo a equação de primeiro grau:



Então encontramos 'n', mas não terminamos ainda, pois apesar de encontrar 'n', nossa equação nos pede na verdade 'x'.

Mas você se lembra que:



Se ''n'' vale -1, então:



Para encontrar ''x'' agora basta aplicar a definição dos logaritmos, onde:



Aplicando a propriedade da potência quando temos um expoente negativo ficamos então por fim com:



Então aí está nossa raiz da equação: 1/2.

Vamos fazer mais uma?

Resolva a seguinte equação logarítmica:



Mudando a base para 3, nessa equação teremos:



Resolvemos então o log de 27 na base 3:



A equação fica então da seguinte maneira:



Agora podemos utilizar o artifício e substituir log de x na base 3 (que está aparecendo duas vezes na equação) por uma incógnita qualquer. Eu vou substituir por ''m'' que é a primeira letra do meu nome, então:



Portanto:



Mínimo múltiplo de 3 é o próprio 3, então:




Resolvendo a equação:



Encontrando o artifício, podemos encontrar ''x'', sabendo que:



Ou seja:



Aplicando a definição:



E sabe-se que 3 ao cubo é 27, portanto a raiz desta equação é 27:



Para verificar se a equação é verdadeira, podemos primeiramente lembrar da condição de existência, onde: Logaritmando > 0

Ou seja, para a equação ser verdadeira e o logaritmo poder existir, ''x'' deve ser maior que 0.
Se ''x'' vale 27, então temos que: 27 > 0. Ou seja, esta inequação é verdadeira.

Agora que sabemos que temos um logaritmando válido, iremos substituir na equação, portanto ficamos com:



Lembre-se que quando temos base = logaritmando, seu logaritmo é 1, então:



Resolvendo rapidamente log de 27 na base 3 (já resolvemos anteriormente neste mesmo exercício, a propósito):



A equação então fica:



Ou seja:



Portanto, a equação é verdadeira e 27 é sua raiz.